Lạc thư là hình gồm chín con số từ 1 đến 9 xếp trong ô vuông ba nhân ba, sao cho mọi hàng, mọi cột và hai đường chéo đều cộng lại bằng 15. Trong toán học, đây là ma phương (hình vuông kỳ ảo) bậc ba, và cũng là ma phương bậc ba duy nhất nếu không tính các phép xoay, lật. Truyền thuyết kể một con rùa thần nổi lên từ sông Lạc, trên lưng có hình ấy, khi Đại Vũ đang trị thuỷ.
Bài này đi theo hai hướng: hướng lịch sử văn hoá (truyền thuyết, thiên Hồng Phạm, các tư liệu đời Hán) và hướng toán học (vì sao tổng là 15, vì sao số 5 bắt buộc ở giữa, vì sao chỉ có một cách xếp). Phần toán không cần kiến thức gì ngoài phép cộng, và là cách tốt nhất để thấy Lạc thư đẹp ở đâu mà không cần thêm huyền thoại.
Truyền thuyết rùa thần và thiên Hồng Phạm
Theo truyền thống, khi Vũ trị thuỷ, một con rùa thần từ sông Lạc nổi lên, trên mai có các chấm xếp thành chín nhóm; Vũ dựa vào đó mà định ra "Hồng phạm cửu trù", chín phép lớn để trị nước. Thiên Hồng Phạm trong Thượng thư có câu trời ban cho Vũ Hồng phạm cửu trù, nhưng văn bản không nói đến con rùa hay hình vẽ nào.
Mối nối giữa Lạc thư và Hồng Phạm được xác lập trong học thuật đời Hán. Phần Ngũ hành chí của Hán thư chép quan điểm của Lưu Hâm, đại ý Phục Hy nhận Hà đồ mà vạch bát quái, Vũ nhận Lạc thư mà bày ra Hồng Phạm. Đây là một cách hệ thống hoá của học giả đời Hán nhằm đặt cả hai văn bản thiêng vào cùng một câu chuyện về thánh nhân nhận phép từ trời.
Giới sử học coi Đại Vũ là nhân vật nửa truyền thuyết, và chuyện rùa thần là truyền thuyết. Sông Lạc thì có thật, là một nhánh của Hoàng Hà, chảy qua vùng Lạc Dương, nơi từng là kinh đô của nhiều triều đại. Khi kể về Lạc thư, cách viết trung thực là ghi "tương truyền" cho phần rùa thần, và nói rõ hình chín số như ta biết hôm nay được gọi tên "Lạc thư" một cách ổn định từ đời Tống.
Hình Lạc thư và câu khẩu quyết
Theo quy ước cổ, phương nam đặt ở trên. Hình Lạc thư được nhớ bằng một câu khẩu quyết lưu truyền từ khá sớm: "đới cửu lý nhất, tả tam hữu thất, nhị tứ vi kiên, lục bát vi túc, ngũ cư trung", đại ý đội chín đạp một, trái ba phải bảy, hai và bốn là vai, sáu và tám là chân, năm ở giữa.
| Cột trái (đông) | Cột giữa | Cột phải (tây) | |
|---|---|---|---|
| Hàng trên (nam) | 4 | 9 | 2 |
| Hàng giữa | 3 | 5 | 7 |
| Hàng dưới (bắc) | 8 | 1 | 6 |
Kiểm nhanh: ba hàng 4 + 9 + 2, 3 + 5 + 7, 8 + 1 + 6 đều bằng 15; ba cột 4 + 3 + 8, 9 + 5 + 1, 2 + 7 + 6 đều bằng 15; hai đường chéo 4 + 5 + 6 và 2 + 5 + 8 cũng bằng 15. Câu khẩu quyết tả hình như một con rùa nằm sấp nhìn từ trên xuống: đầu ở trên, đuôi ở dưới, hai vai, hai chân.
Trong hình vẽ truyền thống bằng chấm, số lẻ là chấm trắng nằm trên trục chữ thập (1, 3, 7, 9 và 5 ở giữa), số chẵn là chấm đen nằm ở bốn góc. Tổng của cả chín số là 45, khác với 55 của Hà đồ.
Vì sao tổng phải là 15 và số 5 phải ở giữa
Phần này là một chứng minh nhỏ mà học sinh cấp hai làm được. Nó cho thấy cách xếp của Lạc thư không phải ngẫu nhiên mà bị ràng buộc rất chặt:
- Tổng chín số từ 1 đến 9 là 45. Ba hàng chia đều tổng này, nên mỗi hàng phải bằng 45 chia 3, tức 15. Lý luận tương tự cho cột và đường chéo.
- Có bốn đường đi qua ô giữa: hàng giữa, cột giữa và hai đường chéo. Cộng bốn đường đó được 4 × 15 = 60.
- Trong tổng 60 ấy, ô giữa được đếm bốn lần, còn tám ô khác mỗi ô được đếm đúng một lần. Vậy 60 = 45 + 3 × (số ở giữa), suy ra số ở giữa bằng 5.
- Mỗi đường qua tâm gồm 5 và hai số đối xứng nhau, nên hai số đối xứng qua tâm luôn cộng lại bằng 10: các cặp 1 – 9, 2 – 8, 3 – 7, 4 – 6.
- Số 9 không thể ở góc: một ô góc nằm trên một hàng, một cột và một đường chéo. Đường chéo đã dùng 9, 5, 1. Hàng và cột mỗi đường cần hai số cộng lại bằng 6 mà không dùng 1 hay 5, nhưng chỉ còn đúng một cặp là 2 và 4. Vậy 9 phải nằm ở giữa một cạnh, và 1 nằm ở cạnh đối diện.
- Từ đó hai bên của 9 phải là hai số cộng lại bằng 6, tức 2 và 4; phần còn lại được điền tự động. Mọi cách xếp hợp lệ chỉ khác nhau bởi xoay và lật, tổng cộng tám biến thể của cùng một hình.
Kết luận toán học này giải thích một điều thú vị: người xưa không "chọn" Lạc thư giữa nhiều phương án; với chín số đầu tiên, đây là cách duy nhất. Có lẽ chính tính duy nhất ấy góp phần làm hình vuông nhỏ này mang vẻ thiêng liêng trong nhiều nền văn hoá.
Lạc thư trong tư liệu đời Hán
Dù cái tên "Lạc thư" cho hình chín số chỉ ổn định từ đời Tống, bản thân cách xếp chín số đã có mặt trong tư liệu đời Hán. Thiên Minh đường trong Đại Đới Lễ ký có một dãy số mô tả chín gian của Minh đường, thường được dẫn là "nhị cửu tứ, thất ngũ tam, lục nhất bát", trùng với ba hàng của Lạc thư khi đọc theo một chiều. Các nhà nghiên cứu lịch sử toán học hay dẫn đoạn này như một trong những ghi chép sớm về ma phương.
Khảo cổ học bổ sung thêm. Năm 1977, trong một ngôi mộ đầu đời Tây Hán ở Song Cổ Đôi (Phụ Dương, An Huy), người ta tìm thấy một chiếc bàn chiêm có khắc các con số theo chín cung; nhiều học giả cho rằng cách bố trí khớp với Lạc thư. Phát hiện này củng cố nhận định rằng hệ chín cung với tổng không đổi đã được biết đến từ đời Hán, sớm hơn các hình chấm đời Tống hơn nghìn năm.
Như vậy lịch sử của Lạc thư có hai dòng song song: dòng con số (ma phương chín ô) có thật từ đời Hán, và dòng cái tên (Lạc thư như văn bản thiêng từ sông Lạc) có từ thời Chu. Việc ghép hai dòng làm một, gọi hình chín số là Lạc thư, là công việc của học giả đời Tống.
Đặt Lạc thư cạnh Hà đồ: chuyện "kim hoả đổi chỗ"
Khi học giả đời Tống vẽ cả hai hình cạnh nhau, họ nhận ra một điểm đáng bàn. Ở Hà đồ, cặp 2 – 7 (hoả) nằm phía nam, cặp 4 – 9 (kim) nằm phía tây. Ở Lạc thư, số 9 lại lên phía nam, số 7 sang phía tây; số 4 ở đông nam, số 2 ở tây nam. Nói cách khác, nhóm số của kim và nhóm số của hoả như đã đổi vị trí cho nhau, trong khi thuỷ (1, 6) ở bắc và mộc (3, 8) ở đông thì giữ gần như nguyên.
Các nhà Dịch học gọi hiện tượng này là "kim hoả dịch vị" và đưa ra nhiều cách giải: có người đọc đó là sự chuyển từ trạng thái tĩnh (Hà đồ, sinh – thành) sang trạng thái động (Lạc thư, vận hành), có người đọc theo quan hệ khắc giữa hoả và kim. Đây là những diễn giải triết học xây trên hai hình vẽ đời Tống; về mặt số học, việc đổi chỗ chỉ là hệ quả của việc hai hình có cấu trúc khác nhau ngay từ đầu.
Ma phương ngoài phương Đông
Toán học Trung Hoa đời Tống. Nhà toán học Dương Huy đời Nam Tống đã trình bày nhiều hình vuông số bậc cao hơn ba, với cách xây dựng có hệ thống. Từ đây ma phương trở thành đề tài toán học thuần tuý chứ không chỉ là biểu tượng.
Thế giới Hồi giáo và Ấn Độ. Các nhà toán học vùng Trung Đông và Ấn Độ thời Trung đại cũng nghiên cứu ma phương, và qua họ đề tài này đi vào châu Âu. Lịch sử truyền đề tài giữa các vùng vẫn còn được nghiên cứu.
Châu Âu thời Phục hưng. Bức khắc Melencolia I của Albrecht Dürer năm 1514 có một ma phương bốn nhân bốn, trong đó hai ô giữa hàng dưới ghi năm 1514. Đây là ma phương nổi tiếng nhất trong nghệ thuật phương Tây.
Phương pháp dựng ma phương bậc lẻ. Một cách dựng nhanh ma phương bậc lẻ bất kỳ, thường gọi là phương pháp Xiêm, được một nhà ngoại giao Pháp ghi lại sau chuyến đi Xiêm cuối thế kỷ XVII. Áp dụng cho bậc ba, phương pháp này cho ra đúng hình Lạc thư sau một phép lật.
Đọc Lạc thư hôm nay: giữ cái đẹp, bỏ phần thần bí hoá
Lạc thư là một ví dụ hiếm hoi mà một biểu tượng văn hoá trùng với một kết quả toán học sạch sẽ. Cái đẹp ấy đủ để Lạc thư đáng được dạy cho học sinh: một bài toán xếp số, một chứng minh ngắn, và một câu chuyện văn hoá đi kèm. Ở nhiều nước, bài toán ma phương ba nhân ba là bài nhập môn kinh điển cho tư duy chứng minh.
Phần nên bỏ là những lời gán cho Lạc thư sức mạnh siêu nhiên hay khả năng "tiên đoán" khoa học hiện đại. Tổng 15 là hệ quả của phép cộng, không phải bí mật của vũ trụ. Những cách dùng Lạc thư trong các môn tính toán thời gian, phương vị đời sau là ứng dụng văn hoá, nằm ngoài nội dung toán học và ngoài phạm vi bài này.
Nếu bạn dạy con hay học trò, có thể bắt đầu bằng việc cho các em tự xếp chín số mà chưa kể truyền thuyết. Khi các em tìm ra lời giải, hãy kể chuyện rùa thần sông Lạc, rồi hỏi: vì sao người xưa lại coi hình này là quà của trời? Câu hỏi ấy mở ra cả một cuộc trò chuyện về toán học, lịch sử và cách con người tìm ý nghĩa trong trật tự.
Câu hỏi thường gặp
Lạc thư và ma phương có phải là một không?
Lạc thư là tên văn hoá của hình vuông chín số mà toán học gọi là ma phương bậc ba. Ma phương là khái niệm rộng hơn, có bậc bốn, bậc năm và cao hơn. Mọi ma phương bậc ba dùng số 1 đến 9 đều là Lạc thư sau khi xoay hoặc lật.
Vì sao Lạc thư có 45 chấm còn Hà đồ có 55 chấm?
Lạc thư dùng chín số từ 1 đến 9, tổng 45. Hà đồ dùng mười số từ 1 đến 10, tổng 55, ứng với số trời đất trong Hệ từ. Hai hình có cấu trúc khác nhau: Lạc thư là ô vuông có tổng không đổi, Hà đồ là năm cặp sinh – thành.
Câu đới cửu lý nhất nghĩa là gì?
Đây là khẩu quyết giúp nhớ hình Lạc thư: đầu đội số chín, chân đạp số một, bên trái số ba, bên phải số bảy, hai vai là hai và bốn, hai chân là sáu và tám, năm ở giữa. Hình được hình dung như con rùa nhìn từ trên xuống với đầu hướng nam.
Có bao nhiêu cách xếp ma phương ba nhân ba?
Nếu tính cả các phép xoay và lật thì có tám cách, nhưng tất cả đều là cùng một hình. Bỏ qua xoay và lật thì chỉ có một lời giải duy nhất. Với bậc bốn trở lên, số ma phương tăng rất nhanh và trở thành đề tài nghiên cứu tổ hợp.
Lạc thư liên quan thế nào với Hồng Phạm cửu trù?
Thiên Hồng Phạm trong Thượng thư nói trời ban cho Vũ chín phép lớn. Học giả đời Hán, tiêu biểu là quan điểm Lưu Hâm chép trong Hán thư, cho rằng Vũ dựa vào Lạc thư để bày ra chín phép ấy. Đây là cách giải thích của đời Hán, không phải điều Hồng Phạm tự nói.
Có nên dùng Lạc thư để dạy toán cho học sinh?
Rất phù hợp. Bài toán xếp chín số sao cho mọi hàng, cột, đường chéo bằng nhau rèn tư duy thử – loại trừ và chứng minh. Kèm câu chuyện văn hoá giúp bài học sinh động; chỉ cần nói rõ phần nào là truyền thuyết, phần nào là toán học.